SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IMPARES IGUALES

SUMA S

SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IMPARES IGUALES

156. Aplicando el Teorema del  Residuo(102), probamos que:

I.   aⁿ – bⁿ es divisible por a - b siendo n par o impar.

II.  aⁿ + bⁿ es divisible por a + b siendo n  impar.

III. aⁿ – bⁿ es divisible por a + b cuando n  es par.

IV. aⁿ + bⁿ nunca es divisible por a-b.

 Y vimos el modo de hallar el cociente cuando la división era exacta.

157. FACTORAR UNA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IMPARES IGUALES.

Ejemplos

(1)   .Factorar m⁵+ n⁵

Dividiendo entre m + n (96, 4º.) los signos del cociente son alternativamente + y -:

= m⁴ - m ³n + m²n² – mn³ + n⁴

Luego m⁵+ n⁵= (m + n)( m⁴ - m ³n + m²n² – mn³ + n⁴).  R

(2) .Factorar x⁵ +32.

Esta expresión puede escribirse x ⁵+ 2⁵. Dividiendo por x + 2, tenemos:

          = x⁴ - x³ (2)+ x² (2)²-x(2)³ +2⁴

O sea = x⁴ - 2x³ + 4x² -8x +16

Luego x ⁵+ 2⁵= (x +2)(x⁴ - 2x³ + 4x² -8x +16). R.

(3) Factorar a⁵ – b⁵.

Dividiendo por a - b (96, 4º.) los signos del cociente son todos +:

= a⁴ + a³b + a²b² + ab³ +b⁴

Luego a⁵ – b⁵=(a – b)( a⁴ + a³b + a²b² + ab³ +b⁴ ).  R.

(4) Factorar x⁷ -1.

 Esta expresión equivale a x⁷ -1⁷. Dividiendo entre x -1, se tiene:

            = x⁶ + x⁵ (1)+ x⁴ (1²)+ x³ (1³)+ x² (1⁴) + x (1⁵) + 1⁶

O sea   = x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1

Luego x⁷ -1=(x-1)( x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1).  R.

NOTA

Expresiones que corresponden al caso anterior xⁿ + yⁿ o  xⁿ - yⁿ en que n es impar y múltiplo de 3, como, x³ – y³ ,x⁹ + y⁹, x ⁹- y⁹ ,x¹⁵ + y¹⁵, x¹⁵ - y¹⁵, pueden descomponerse por el método anteriormente expuesto o como suma o diferencia de cubos. Generalmente es más expedito esto último. Las expresiones de la forma xⁿ - yⁿ en que n es par, como x⁴ – y^4, x⁶ – y⁶, x⁸ – y⁸son divisibles por x + y o x - y, y pueden descomponerse por el metodo anterior, pero mucho más fácil es factorarlas como diferencia de cuadrados.